P1403 [AHOI2005]约数研究

universehyf

https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1403
题目描述

科学家们在Samuel星球上的探险得到了丰富的能源储备，这使得空间站中大型计算机“Samuel II”的长时间运算成为了可能。由于在去年一年的辛苦工作取得了不错的成绩，小联被允许用“Samuel II”进行数学研究。

小联最近在研究和约数有关的问题，他统计每个正数N的约数的个数，并以f(N)来表示。例如12的约数有1、2、3、4、6、12。因此f(12)=6。下表给出了一些f(N)的取值：

f(n)表示n的约数个数，现在给出n，要求求出f(1)到f(n)的总和。

输入输出格式输入格式：

输入一行，一个整数n

输出格式：

输出一个整数，表示总和

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1. #include<iostream>
   
2. #include<cstdio>
   
3. using namespace std;
   
4. typedef long long ll;
   
5. #define FOR(i,a,b) for(register ll i=a;i<=b;++i)
   
6. ll n,c;
   
7. int main()
   
8. {
   
9.     scanf("%d",&n);
   
10.     FOR(i,1,n) c+=n/i;
    
11.     printf("%d",c);
    
12.     return 0;
    
13. }

复制代码

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其实如果不被这道题吓到，细心想一想，有一种难以置信的简单的O（n）解法。
我们不妨枚举各个因子i，看它被计算了多少次。
很明显，它是i,i * 2,i * 3……的因子，所以它是n/i个数的因子。累加即可。