2717: 恐狼后卫

admin

【题目描述】

著名卡牌游戏《石炉传说》中有一张随从牌：恐狼后卫。恐狼后卫的能力是使得相邻随从的攻击力提高。
现在有n张恐狼后卫顺序排成一排，第i只恐狼后卫的攻击力为a[i]，血量为h[i]，提升相邻随从的攻击力值为b[i]。
你的攻击力为atk，每次攻击你可以选择一只存活的恐狼后卫，减少其血量值atk。若其血量小于等于0，则该恐狼后卫死亡。当某只恐狼后卫死亡时，其左右两侧（若存在）的恐狼后卫会靠拢并成为相邻关系。
在攻击第i只恐狼后卫时，除了要承受这只恐狼后卫自身的攻击力a[i]之外，还要承受与其相邻的2张恐狼后卫的提高攻击力值b[i-1]和b[i+1]（若存在）。
你的任务是承受最少的总伤害杀死所有恐狼后卫，输出需承受的伤害值。

【输入格式】

第一行一个正整数n，表示恐狼后卫的数量。
第二行一个正整数atk，表示你的攻击力。
以下n行，每行3个值：a[i]、b[i]、h[i]，分别表示第i只恐狼后卫自身的攻击力值、提升相邻随从的攻击力值、血量值。

【输出格式】

一个整数，表示杀死所有恐狼后卫需要承受的最少伤害值。

【样例输入】
3
1
8 1 6
3 5 7
4 9 2
【样例输出】
94
【数据范围】
对于30%的数据，n <= 10
对于另外30%的数据，n <= 100, h[i] = 1
对于100%的数据，n <= 400，atk、a[i]、b[i]、h[i] <= 1000

admin

对于30%的数据，n <= 10，直接穷举所有情况即可。

对于另外30%的数据，n <= 100, h[i] = 1
首先本题中的a[]直接求和即可，只需要考虑b[]的影响。常规的解决该类问题的思路是区间DP，枚举第一个去掉的位置并将问题转化为左右两个子区间的问题，而本题的关键是在杀死一只恐狼后卫后，其相邻两侧的恐狼后卫会靠拢，且恐狼后卫能提升相邻的随从的攻击力。所以如若枚举区间内第一个杀死的恐狼后卫，左右两区间的相邻的恐狼会互相影响，所以并不是一个子问题。此时应反其道而行之，枚举最后一只杀死的狼，在这种情况左右两个子区间被这最后一只狼隔开，就成为了2个子问题。
详细描述一遍，设f[i][j]为消灭第i只到第j只恐狼的最优代价（被第i-1只狼和第j+1只狼包围），枚举k作为最后一只被杀死的狼，则在杀死这第k只狼时，将会受到第i-1只狼和第j+1只狼的攻击力提升。
f[i][j]=Min(f[i][k-1]+f[k+1][j]+b[i-1]+b[j+1])
这是O(n^3)的DP，可以顺利解决。

对于100%的数据，恐狼有血量值，可以先根据玩家的攻击力atk换算出攻击次数。用贪心思想易得，存在一个最优方案：攻击某只恐狼必连续攻击至死，再攻击别的恐狼。所以DP方程略微修改为：
f[i][j]=Min(f[i][k-1]+f[k+1][j]+ （b[i-1]+b[j+1]) * times[k])
其中times[k]为杀死第k只狼需要的攻击次数。