最短路径—Floyd算法

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Floyd算法

1.定义概览

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。

2.算法描述

1)算法思想原理：

     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法

方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角 如下所示

给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点

相应计算方法如下：

最后A3即为所求结果

3.算法代码实现

1. typedef struct         
   
2. {        
   
3.     char vertex[VertexNum];                                //顶点表         
   
4.     int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表         
   
5.     int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         
   
6. }MGraph;
   
7. 
   
8. void Floyd(MGraph g)
   
9. {
   
10. 　　int A[MAXV][MAXV];
    
11. 　　int path[MAXV][MAXV];
    
12. 　　int i,j,k,n=g.n;
    
13. 　　for(i=0;i<n;i++)
    
14.     　　for(j=0;j<n;j++)
    
15.     　　{ 　　
    
16.              A[i][j]=g.edges[i][j];
    
17.          　　 path[i][j]=-1;
    
18.      　 }
    
19. 　　for(k=0;k<n;k++)
    
20. 　　{
    
21.       　　for(i=0;i<n;i++)
    
22.          　　for(j=0;j<n;j++)
    
23.              　　if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))
    
24.              　　{
    
25.                    　　A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];
    
26.                    　　path[i][j]=k;
    
27.               　 }
    
28.     　}
    
29. }

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