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标题: Tarjan算法 [打印本页]

作者: admin 时间: 2019-11-6 19:52
标题: Tarjan算法
Tarjan算法是由Robert Tarjan（罗伯特·塔扬，不知有几位大神读对过这个名字）发明的求有向图中强连通分量的算法。

预备知识：有向图，强连通。

有向图：由有向边的构成的图。需要注意的是这是Tarjan算法的前提和条件。

强连通：如果两个顶点可以相互通达，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

在这个有向图中1、2、3、4四个点可以互相到达，就称这四个点组成的子图为强连通分量。且这四个点两两强连通。

Tarjan算法是用来求强连通分量的，它是一种基于DFS（深度优先搜索）的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。并且运用了数据结构栈。

在介绍详细原理前，先引入两个非常重要的数组：dfn[ ] 与 low[ ]

dfn[ ]：就是一个时间戳（被搜到的次序），一旦某个点被DFS到后，这个时间戳就不再改变（且每个点只有唯一的时间戳）。所以常根据dfn的值来判断是否需要进行进一步的深搜。

low[ ]：该子树中，且仍在栈中的最小时间戳，像是确立了一个关系，low[ ]相等的点在同一强连通分量中。

初始化时 dfn[ ] = low[ ] = ++cnt.

算法思路：

　　首先这个图不一定是一个连通图，所以跑Tarjan时要枚举每个点，若dfn[ ] == 0，进行深搜。

　　然后对于搜到的点寻找与其有边相连的点，判断这些点是否已经被搜索过，若没有，则进行搜索。若该点已经入栈，说明形成了环，则更新low.

　　在不断深搜的过程中如果没有路可走了（出边遍历完了），那么就进行回溯，回溯时不断比较low[ ]，去最小的low值。如果dfn[x]==low[x]则x可以看作是某一强连通分量子树的根，也说明找到了一个强连通分量，然后对栈进行弹出操作，直到x被弹出。

作者: admin 时间: 2019-11-6 19:55

从1进入 dfn［1］=low［1］＝ ++cnt = 1
入栈 1
由1进入2 dfn［2］=low［2］＝ ++cnt = 2
入栈 1 2
之后由2进入4 dfn［4］=low［4］＝ ++cnt = 3
入栈 1 2 4
之后由4进入 6 dfn［6］=low［6］＝++cnt = 4
入栈 1 2 4 6

6无出度，之后判断 dfn［6］==low［6］说明6是个强连通分量的根节点：6及6以后的点出栈并输出。

回溯到4后发现4找到了一个已经在栈中的点1，更新 low [ 4 ] = min ( low [ 4 ] , dfn [ 1 ] )

于是 low [ 4 ] = 1 .

由4继续回到2 Low[2] = min ( low [ 2 ] , low [ 4 ] ).
low［2］＝1；
由2继续回到1 判断 low[1] = min ( low [ 1 ] , low [ 2 ] ).
low［1］还是 1
然后更新3的过程省略，大家可以自己手动模拟一下。

。。。。。。。。。

省略了1->3的更新过程之后，1的所有出边就跑完了

于是判断：low [ 1 ] == dfn [ 1 ] 说明以1为根节点的强连通分量已经找完了。

将栈中1以及1之后进栈的所有点，都出栈并输出。

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